前の記事でも簡単に述べたように、現代の空間概念は先史時代と大差ありません。唯一の違いは、近代人が記号的言語を使ってそれをコード化し、宇宙の理解に関して自分たちが優位に立っていると信じていることです。しかし、観念の系譜を見ると、物理学が辿った幾何学の迂回路は、一歩ごとに破綻し、それを補修してきたように見えます。無限へ発散する数は「実在ではない」と言い聞かせるために繰り込み（renormalization）が使われ、“黙って計算しろ（Shut up, and calculate）”という呪文とともに、注意深いつぎはぎが必要だとされます。

（免責：この記事は特異点のような重力異常の幾何学には触れず、デカルト幾何学の簡単な歴史と、量子力学との関係を掘り下げるものです。）

デカルトの幾何学と産業革命

ルネ・デカルトは私のお気に入りの哲学者の一人です。実際、よく引用される“Dubito, ergo cogito, ergo sum”という言葉は、私が早い時期に哲学に親しんだとき、本当に大きなインスピレーションを与えてくれました。今振り返ってみると、デカルトが戦っていた悪魔は、ユークリッド幾何学の球面的側面から来ていたように思えます。彼は、自分の感覚を信頼できないと仮定することで世界を理解しようと多くの思考実験を重ね、抽象的な領域へと向かい、三角形の形は世界の中では歪んでいても、彼の心の中では完全であろうと結論しました。ただ、彼は平面上の三角形と抽象的な領域の三角形を、意味のある形で区別できたのでしょうか？ 私は疑わしいと思います。

デカルトは、空間の原初的な知覚を、平面上のx, y, z格子によって導入し、あるいはコード化しました。これはユークリッド幾何学の上に築かれたものです。ユークリッドの業績にはもちろんそうした数学的概念はありませんでしたが、ユークリッドの業績から導くことのできる座標は球面に関係し、r、θ、φを含み得ます。

もちろん、それらの座標のコード化は、啓蒙時代と産業革命における技術進歩のブームをもたらし、人間の生活の多くの領域を革命的に変えました。ただし注意すべき点は、技術の進歩が単一の知識領域のおかげではないということです。人間の技術は常に複数の領域で前進しています。そしてまさにここで、デカルトの幾何学が進歩の軌道を押し上げました。なぜなら他の領域でも、人々が物事について推論し、それを活用できるようになったからです。

進歩の軌道は続き続けました。デカルトの幾何学が非常に信頼できるものだったため、デイヴィッド・ヒルベルトや他の多くの数学者たちはその上に築き上げました。この文脈では、それは理にかなっています。

部屋の象：幾何学との岐路に立つ量子力学

デカルト幾何学は古典物理学と完璧に機能しました。間違いありません。しかし、量子力学の発見は、それが古典物理学とは大きく異なることを明らかにしたのに、彼らは古典物理学が使ったのと同じ幾何学を選び、それを量子力学に重ね合わせました。

問題を想像するために、物理学が使う幾何学の問題を示す思考実験をしましょう。私たちはヒルベルト、デカルト、そして大人の雄の象を部屋に置きます。そこには完全なx, y, zの3次元幾何学が残っており、彼らは自分たちが最も得意とする――幾何学――をしなければなりません。超高性能な道具で、静止している想像上の象の大きさを縮め始めるとしましょう。象が縮む方向はそれ自身に直交しており、象はゆっくりと目に見えて小さくなります。さて、象が完全に視界から消えた瞬間、ヒルベルト幾何学は、より顕微鏡的・量子的な研究が別のことを確立するまで、0を生み出します。デカルト幾何学も座標について(0, 0, 0)を生み出します。彼らの結論は：視界から消えたものは、実在からも消える。しかし実際はそうではありません。私たちが感覚で知覚する現実が現実である限り、量子のスープも現実です。直接知覚できないからといって、それが実在しないというわけではありません。ユークリッドの不変幾何学はスケールに束縛されず、小さくなっていく想像上の象を追跡し続けるでしょう。

記憶の散策：1960年代、陽子は「点状」と表現されました。何かを点状（0次元）とみなすことは疑問です。なぜなら0次元は存在しない「容器」を意味するのに、その「点状」の物体はスピンなどの性質を持って存在するからです。これは本質的に「無が何かを含んでいる」という、非常に矛盾した非論理的な言い方です。しかし、SLAC国立加速器研究所の散乱実験で、陽子は球に似た性質を持つことが発見されました。

デカルト幾何学がそんな小さなスケールで、何らかの形でほぼ常に無限へ発散し、物理学が「繰り込み」のためにgテンソルを使い続けるとき、壊れた幾何学を直す代わりに、彼らはつぎはぎを続けることを選びます。それは科学の精神に対して不誠実です。使われているgテンソルもデカルト幾何学に基づいていますが、派手な変数が多く、その逃げ道は「座標不変性（coordinate invariance）」です。彼らが忘れているかもしれませんが、座標不変性は、彼らが誤って退けたユークリッド幾何学にも、本来備わっているものです。

アインシュタインの1913年の草稿は、本当に直観的で知的な天才の所産でした。ただ、ユークリッド幾何学の歪んだ見方が、彼が当初構築しようとした枠組みにとっては問題で、実際、正しい幾何学を使って完成されていれば、人類は重力の統一理論に近づいていたかもしれません。しかしアインシュタインはリッチテンソルを使わざるを得ず、彼は約2年間それに抵抗しました。

結論として、物理学が使っている幾何学は、過去400年間に人間を多くの異なる分野で前進させたものですが、量子領域とは両立せず、完全に捨て去るべきです。多くの科学者、特にそれを形式化するのに貢献したファインマン自身も、それをひどく嫌い、「間抜けな過程（dippy process）」、「数学的まやかし（mathematical hocus-pocus）」と表現し、無限を絨毯の下に掃き寄せたのです。